Skalarne równania różniczkowe zwyczajne. Pojęcia wstępne

Czym są równania różniczkowe i do czego one służą? Zacznijmy od pewnych analogii. W kursie matematyki elementarnej rozwiązuje się równania algebraiczne. Przykładem może służyć układ równań liniowych

(1)

$ \begin{cases} x+y=1, \\ x-y=0 \end{cases} $

lub równanie

$ x^2-\,x-6=0, $

zwane równaniem kwadratowym. Rozwiązywanie obu równań polega na znalezieniu liczb, które po podstawieniu do odpowiednich równań czyniły by z nich tożsamości. W przypadku układu równań w naszym przypadku są to liczby $ x=y=1/2 $, które są określone jednoznacznie. Podane równanie kwadratowe spełniają dwie liczby: $ x=3 $ oraz $ x=-2 $. W przypadku równań różniczkowych nie chodzi o znalezienie rozwiązań liczbowych. Rozwiązaniami są funkcje różniczkowalne spełniające równanie, przy czym niejednoznaczność rozwiązania jest raczej regułą niż wyjątkiem. Przejdźmy jednak do definicji.

Definicja 1:

Równaniem różniczkowym zwyczajnym (RRZ) nazywamy równanie

(2)

$ F(t,x(t),x'(t),\ldots, x^{(n)}(t))=0, $

gdzie $ F $ jest funkcją różniczkowalną w każdym ze swoich argumentów. W równaniu ( 2 ) niewiadomą jest $ n- $krotnie różniczkowana funkcja $ x=x(t) $, zatem równanie ( 2 ) jest równaniem funkcyjnym.
Jeżeli jesteśmy w stanie rozwiązać równanie ( 2 ) względem ostatniej zmiennej, wówczas możemy go napisać w postaci równoważnej

(3)

$ x^{(n)}=\Psi\left(t,\,\,x(t),\,\,x(t),\,...,x^{(n-1)} \right), $

zwanej postacią kanoniczną skalarnego RRZ $ n $-tego rzędu.

Rozwiązać równanie ( 2 ) oznacza znaleźć $ n $ razy różniczkowalną funkcję $ x=\varphi(t) $, która, będąc podstawioną do równania ( 2 ), uczyni z niego tożsamość. Rzędem równania ( 2 ) nazywamy największy rząd pochodnej szukanej funkcji $ x=\varphi(t) $, występującej w tym równaniu.
Najprostsze równanie różniczkowe dyktuje problem znalezienia funkcji pierwotnej $ x(t) $ do zadanej funkcji ciągłej $ f(t) $:

(4)

$ \frac{d\,x}{d\,t}=f(t). $

Zatem rozwiązanie tego równania dane jest wzorem

$ x(t)=\int{f(t)\,d\,t}, $

opisującym nieskończenie wiele funkcji pierwotnych funkcji $ x(t) $, rózniących się o dowolną stałą.

$Fragmenty funkcji pierwotnych funkcji {OPENAGHMATHJAX()}\cos{t}{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Fragmenty funkcji pierwotnych funkcji $ \cos{t} $

Przykład 1:

Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego z funkcją niewiadomą $ x(t) $:

(5)

$ \frac{d\,x}{d\,t}=\cos{t}. $

Powyższe równanie można zapisać w sposób równoważny jako równość różniczek

$ dx=\cos{t}\,d\,t\equiv\,d\,\sin{t}. $

Jak wiadomo, równość różniczek implikuje równość odpowiednich całek, w danym przypadku równość ta będzie miała postać

$ \int {d\,x}= \int {\cos{t}\,d\,t}. $

Licząc odpowiednie całki otrzymamy

$ x(t)=\sin{t}+C. $

Zatem funkcja $ x(t) $, spełniająca RRZ ( 5 ) nie jest zadana jednoznacznie, lecz z dokładnością do dowolnej stałej (stałej całkowania).
Sens geometryczny stałej występującej w powyższym wzorze wynika z interpretacji pochodnej jako tangensa kąta nachylenia do osi $ O\,X $ prostej stycznej do wykresu funkcji w dowolnym punkcie $ (t,\,x(t)) $ (zob. Rys. 1 ). Stąd funkcją pierwotną będzie również każda funkcja postaci $ x(t)+C $, gdzie $ C=const $.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Skalarne równania różniczkowe zwyczajne. Pojęcia wstępne

Definicja 1:

Przykład 1: